סטודנטים רבים שלומדים מתמטיקה מתקדמת בקורסים מתקדמים תהו ככל הנראה: היכן משמשות משוואות דיפרנציאליות (DE) בפועל? ככלל, נושא זה אינו נדון בהרצאות, והמורים ממשיכים מייד לפיתרון של DE מבלי להסביר לתלמידים את השימוש במשוואות דיפרנציאליות בחיים האמיתיים. ננסה למלא את הפער הזה.
נתחיל בהגדרת משוואה דיפרנציאלית. אז, משוואה דיפרנציאלית היא משוואה שקושרת את הערך של פונקציה נגזרת לפונקציה עצמה, לערכים של משתנה עצמאי וכמה מספרים (פרמטרים).
התחום השכיח ביותר בו מיושמות משוואות דיפרנציאליות הוא התיאור המתמטי של תופעות טבע. הם משמשים גם בפתרון בעיות בהן אי אפשר ליצור קשר ישיר בין ערכים מסוימים המתארים תהליך. משימות כאלה מתעוררות בביולוגיה, פיזיקה וכלכלה.
בביולוגיה:
המודל המתמטי המהותי הראשון שתיאר קהילות ביולוגיות היה מודל לוטקה וולטרה. היא מתארת אוכלוסייה של שני מינים בעלי אינטראקציה. הראשון שבהם, שנקרא טורפים, נפטר על פי החוק x '= –ax (a> 0) בהיעדר השני, והשני קורבנות, בהיעדר טורפים מתרבה ללא הגבלה בהתאם לחוק מלתוס. האינטראקציה של שני מינים אלה מתועצבת כדלקמן. הקורבנות מתים בשיעור השווה למספר המפגשים של טורפים וקורבנות, שבמודל זה ההנחה היא פרופורציונאלית למספר שתי האוכלוסיות, כלומר שווה ל- dxy (d> 0). לכן, y '= by - dxy. טורפים מתרבים בקצב פרופורציונלי למספר הטרף שנאכל: x '= –ax + cxy (c> 0). מערכת המשוואות
x '= –ax + cxy, (1)
y '= על ידי dxy, (2)
המתאר אוכלוסיה כזו, טורף הוא טרף ומכונה מערכת מגשים - וולטרה (או דגם).
בפיזיקה:
ניתן לכתוב את החוק השני של ניוטון בצורה של משוואה דיפרנציאלית
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), כאשר m הוא מסה של הגוף, x הוא הקואורדינטה שלו, F (x, t) הוא הכוח הפועל על הגוף עם הקואורדינטה x בזמן t. הפיתרון שלו הוא מסלול הגופה תחת פעולת הכוח המצוין.
